Deret Fibonacci

Deret Fibonacci ditemukan oleh Leonardi Pisano atau lebih dikenal dengan sebutan Leonardo Fibonacci (diturunkan dari Filius Bonaccio atau anak dari Bonaccio, sebutan bagi ayahnya yang bernama asli Guglielmo), pada abad 12 di Italia.
Pada dasarnya Deret Fibonacci merupakan barisan bilangan sederhana dimulai dari 0 dan 1 dan suku berikutnya merupakan jumlah dua bilangan sebelumnya.
Deret fibonacci bersifat rekursif karena menggunakan suku dalam deret tersebut untuk menghitung suku setelahnya. Dengan pengertian tersebut, maka suku-suku pada deret fibonacci adalah:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 dan seterusnya.

Dalam rumus matematika ditulis :

Rasio dari sepasang suku berurutan dalam deret fibonacci akan konvergen ke sebuah bilangan irasional 1,618 atau bilangan phi (Φ).
Phi, merupakan sebuah konstanta irasional yang bernilai 1,61803399… yang di dapat dari kenvergensi rasio suku dalam deret fibonacci terhadap suku sebelumnya.
Dalam deret fibonacci, sebuah suku adalah penjumlahan dua suku sebelumnya. Diketahui rasio dari dua buah suku berurutan konvergen ke suatu nilai, anggap nilai itu variabel p. Maka pada urutan suku yang sangat besar, misalkan 3 suku berurutan dilambangkan sebagai a,b, dan c, maka berlaku:

c/b = b/a = p; dengan c = a+b

–> (a+b)/b = b/a ;

–> a^2+ab = b^2;

–> a^2+ab-b^2 = 0 ; persamaan kuadrat

–> maka didapat a/b= (1+√5)/2 atau a/b= (1-√5)/2

–> jika dihitung, (1+√5)/2 ekivalen dengan 1,618… sedangkan (1-√5)/2 ekivalen dengan 0,618… . 

Dengan demikian bilangan phi memiliki sifat, sebuah bilangan yang resiproknya merupakan bilangan itu sendiri dikurangi 1. ( 1/phi = phi-1).

Bilangan Phi dikatakan oleh para ahli sebagai divine proportion atau proporsi agung atau dalam istilah yang lebih populer dikenal sebagain golden ratio. Sepertinya Tuhan memasukkan divine proportion ini kedalam ciptaannya untuk membuktikan kebesarannya melalui keindahan alam. Banyak sekali contoh golden ratio di alam semesta, mulai dari jari yang kita gunakan untuk mengetik, hingga luar angkasa sana.

A tiling with squares whose sides are successive Fibonacci numbers in length

A Fibonacci spiral created by drawing circular arcs connecting the opposite corners of squares in the Fibonacci tiling

The Fibonacci numbers are the sums of the "shallow" diagonals (shown in red) of Pascal's triangle.

Berikut beberapa fakta mengenai Deret Fibonacci.

1. Jumlah Daun pada Bunga (petals)
Mungkin sebagian besar tidak terlalu memperhatikan jumlah daun pada sebuah bunga. Dan bila diamati, ternyata jumlah daun pada bunga itu menganut deret fibonacci. contohnya:
- jumlah daun bunga 3 : bunga lili, iris
- jumlah daun bunga 5 : buttercup (sejenis bunga mangkok)
- jumlah daun bunga 13 : ragwort, corn marigold, cineraria,
- jumlah daun bunga 21 : aster, black-eyed susan, chicory
- jumlah daun bunga 34 : plantain, pyrethrum
- jumlah daun bunga 55,89 : michaelmas daisies, the asteraceae family

Lihat buktinya di gambar ini.

2. Pola Bunga
Pola bunga juga menunjukkan adanya pola fibonacci ini, misalnya pada bunga matahari. Dari titik tengah menuju ke lingkaran yang lebih luar, polanya mengikuti deret fibonacci.

3. Tubuh Manusia

Bila Anda ukur panjang jari Anda, kemudian Anda bandingkan dengan panjang lekuk jari, maka akan ketemu 1.618.
Penjelasan :

• Coba bagi tinggi badan Anda dengan jarak pusar ke telapak kaki, maka hasilnya adalah 1.618.
• Bandingkan panjang dari pundak ke ujung jari dengan panjang siku ke ujung jari, maka hasilnya adalah 1.618.
• Bandingkan panjang dari pinggang ke kaki dengan panjang lutut ke kaki, maka hasilnya adalah 1.618
• Semua perbandingan ukuran tubuh manusia adalah 1.618. benarkah? silahkan membuktikannya.

5. Parthenon

Bangunan yang diarsiteki oleh Phidias ini juga menggunakan perbandingan yang berdasarkan angka Phi. 1.618.

Dan masih banyak lagi konstruksi alam yang sesuai dengan phi.

Sumber : http://matematikatik.blogspot.com